A matematikai gondolkodás kérdései
Robert J. Sternberg egyike a gondolkodási folyamatokkal foglalkozó
legismertebb, és legtermékenyebb kutatóknak. Az intelligencia, a kognitív
képességek, a gondolkodás kutatásának szinte minden területén folyamatosan
jelennek meg cikkei, könyvei. Szerkesztő társával, Talia Ben-
Zeev-vel, (mindketten a Yale University oktatói) együtt
jelentették meg A matematikai gondolkodás természete című könyvet,
mely tavaly jelent meg magyarul.
A tizenegy fejezetből álló könyvet a szerzők hat nagy részre
osztják: a pszichometriai megközelítésekkel foglalkozó rész mellett
egy-egy fő egység jut a kognitív-információfeldolgozási, a kognitív-kulturális,
a kognitív-oktatási modellekre, egy további rész a matematikai megközelítésű
fejezeteket fogja össze, az utolsó rész pedig Sternberg összefoglalóját
tartalmazza a matematikai gondolkodásról. A fejezeteket a közös problémafelvetés
fűzi össze: mi a matematikai gondolkodás? Hogyan lehetséges,
hogy vannak, akik könnyen tanulják a matematikát, míg mások megtanulhatatlan
tantárgynak tekintik? Hogyan lehet valaki jó geometriából, de gyenge
algebrából vagy analízisből és fordítva? Mi az oka annak, hogy matematikát
csak a hétköznapokban használók közül néhányan olykor jobban, gyorsabban,
helyesebben számolnak, mint a matematikusok egy része? Melyek azok
a képességek, készségek, amelyek a matematikai gondolkodás alapját
képezik? E kérdésekre sokféle érdekes választ kapunk a könyvben, bár
a válaszok sok esetben eltérnek egymástól.
Az első rész egyetlen fejezet. A pszichometria
egyik legnagyobb hatású képviselője, J. B. Caroll a Matematikai
képességek: a faktoranalitikus módszer néhány eredménye című munkájában
bemutatja a kognitív képességek háromszintű elméletét, és definiálja
azokat a képességeket, amelyek jelentősek a matematikai gondolkodás
szempontjából. A legáltalánosabb szinten az általános képesség áll.
Ezt több, második szinten álló képességre bontja, majd ezek vizsgálati,
tesztelési módszerét is leírja. Kifejti a fluid és kikristályosodott
intelligencia különbségeit, bemutatja a memóriával és az általános
vizuális érzékeléssel kapcsolatos képességeket. A harmadik szinten
a specifikus képességeket helyezi el, különös figyelmet fordítva azokra,
amelyek a matematikai teljesítményekben megnyilvánulhatnak. Bár nem
mindig tudjuk előre megmondani, hogy az egyes teljesítményekhez melyek
a fontosak, a speciális képességek szerepe nyilvánvaló. Például, ha
valaki gyengébb térbeli képességekkel rendelkezik, sohasem válhat
világhírű topológussá, de megvan az esélye arra, hogy ismert statisztikus
legyen.
A második rész a kognitív információelmélet felől közelíti
meg a matematikai gondolkodást. Mayer és Hegarti több
információfeldolgozó technikáról ír, miután definiálták, mit értenek
matematikai probléma alatt. Rutin és nem rutinszerű feladatokat különböztetnek
meg, amelyek megoldásakor alkalmazott információfeldolgozó eljárásokat
(transzláció, integrálás, tervezés, végrehajtás) szintén két csoportra
különítik el. A kvantitatív érvelés egyik formája, az „előbb számolj,
azután gondolkodj” stratégia, melynek során a diákok kulcsszavakat
keresnek, majd ezeket öntik aritmetikai formába, a probléma megértése
nélkül, így megoldási próbálkozásaik gyakran eredménytelenek maradnak.
A másik a kvalitatív érvelés, amelyet a problémamodell-stratégiában
használnak. Ekkor egy modellt állítanak fel, a szituációt próbálják
először megérteni, utána veszik a konkrét adatokat. Ez a fajta gondolkodás
a sikeres problémamegoldás módszere. Erre az elméletre építve hat
hipotézist fogalmaznak meg a szerzők arra vonatkozóan, hogy hogyan
olvasnak, emlékeznek és hogyan tanulnak meg az emberek szöveges
problémákat megoldani.
Ezek után Talia Ben-Zeev bemutatja a matematikai gondolkodás
Reason nevű modelljét. Ő az analógiás gondolkodás fontosságát
emeli ki, amikor a már korábban megoldott problémákkal, rögzült mentális
sémákkal keresünk hasonlóságot, lehetőleg a különbségek észrevételével.
Hangsúlyozza a „helyes”, logikus hibák szerepét, azaz, amikor helytelen
premisszákból indulunk ki egy probléma megoldásakor. Például ez vezet
egy helyes séma „rossz” környezetben történő használatához is. Felteszi
a kérdést, vajon megjósolható-e a tanulók hibás matematikai gondolkodása?
Kevin F. Miller és David R. Parades a kognitív-kulturális
nézőpontból, illetve az antropológia szemszögéből közelíti
meg a problémát. Célja az, hogy feltárja, mivel járulnak hozzá a különböző
kulturális eszközök (szimbólumrendszerek, számok elnevezésének rendszere)
a matematikai gondolkodás fejlődéséhez. Összefoglalva: a gyerekek
annál könnyebben tanulják meg a számokat, minél rendezettebben, logikusabban
fejezi ki azt nyelvük. Például, a 11-19-ig terjedő számok az angol
és német anyanyelvűek számára rendszertelenségük miatt okozhatnak
nehézségeket, míg a kínai diákok kínaiul ezt könnyen elsajátítják.
(Kár, hogy a szerzők nem ismerik a magyar nyelvet, hiszen a számok
megnevezése a mi nyelvünkön is világos szabályt követ.)
Az ötödik fejezet azzal a kérdéssel foglalkozik,
hogy milyen kölcsönös kapcsolat van a kultúra és az egyén matematikai
megértésének fejlődése között, azaz a matematikát nem választhatjuk
el a mindennapi élet problémáitól. Szükségszerűen gyakoroljuk ott
is például ha bevásárolni megyünk, ahol szándékaink szerint nem matematikával
foglalkozunk. A számítógépek használata sokak hiedelme ellenére nem
tette feleslegessé a számolást, ugyanis a hibák – még ha át is alakultak
– lehetősége lényegében megmaradt (pl. ha kétszer ütnek be valamit).
Fontosak a szociális interakciók, a kulturális termékek (testrészekkel
számolás) is. A szerzők bírálják a Piaget-i konstruktivizmus
azon pontját, hogy a megértés kulturális aspektusait figyelmen kívül
hagyja, pedig a fejlődés szorosan összefügg az egyének tevékenységeivel.
Az eredmények azt sugallják, hogy „rés” tátong a „tiszta” és a „mindennapi”
matematikához szükséges képességek között.
Ezt a „rést” próbálja David C. Geary Biológia, kultúra és
nemzetek közti különbségek a matematikai képességben írásával áthidalni.
A Kelet- Ázsiai és Egyesült Államokban élő gyerekek összehasonlításával
próbál a szerző a biológiai intelligenciában lévő különbségektől a
kulturális különbségekig áttekintést adni. E célból három fő részre
osztja munkáját. Az elsőben különbséget tesz a biológiailag elsődleges
(faj-tipikus) és másodlagos (kultúra-specifikus) képességek között.
A második részben ezt a gyermekek matematikai fejlődését vizsgáló
kutatásában alkalmazza, melynek eredménye szerint feltehetően az előbbi
csoportba tartoznak a számossági, sorrendiségi, számolási egyszerű
aritmetikai képességek, míg az utóbbihoz a szülőktől és az iskolában
tanult ismeretek, tevékenységek. Végül a harmadik részben a nemzetek
közti különbségeknek szenteli figyelmét. Arra a következtetésre jut,
hogy a különbségeket a másodrendű képességek okozzák, az iskolai oktatás,
a matematika társadalomban elfoglalt helye, vagyis a kulturális motiváció.
Például Japánban nagy érték a matematikatudás, ezzel szemben pl. az
USA-ban a sportbeli teljesítményeknek nagyobb értéke van.
Pedagógiai megközelítéssel foglalkozik a negyedik
rész. Részletes esettanulmánnyal indul, egy hatéves kislány,
Toby matematikai gondolkodásának leírásával. A tanulmány célja, hogy
bemutassa a gyerekek matematikai gondolkodásának néhány alapvető vonását,
értelmét és küzdelmüket azzal a helyzettel, amikor összetalálkoznak
az iskolai matematikával. Herbert P. Ginsburg szerint a gyerek
matematikai gondolkodása sok dolgot jelent: kapcsolatot tart a felnőttel,
egyénileg tevékenykedik, megpróbál gondolkodás nélkül, amilyen gyorsan
csak lehet, helyes választ adni, s szomorú, ha a válasz hibás. Számára
a matematika lehet bizarr nyelvi játék, egy becsapásra tervezett akadály
vagy csak értelmetlen anyag (számok, definíciók, kevés jelentéssel
bíró puszta szavak) memorizálása. A gyermek mindenben próbálja megtalálni
az értelmet, innen fakadhatnak logikus hibái. De lehet, hogy elgondolkodik
saját gondolatain (metakogníció), és azt büszkén magyarázza másoknak.
Ezzel szemben John D. Bransford teljesen más oldalról
közelít. Egy hét éve tartó projektet foglal össze, melyben célja olyan
program kifejlesztése volt, mely segíti a diákokat a matematikai gondolkodás
elsajátításában azáltal, hogy a feladatokat életszerű kontextusokban
tálalja. Tapasztalatai alapján sokkal hatékonyabb a matematikaoktatás
akkor, ha a felvetett megoldandó probléma sokatmondó, érdekes, esetleg
már átélték a diákok, és nem csak formalizmusokon alapuló „száraz”
képletgyűjtemény. Ez is bizonyítja mennyire kontextus függő a tanulás.
Az ötödik részben a matematikai gondolkodás matematikai megközelítéseiről
kiderül, hogy a kutatók különböző háttértudása, alkalmazott módszere,
megközelítése ellenére is sok közös következtetésre jutnak. Megtudhatjuk,
mi minden lehet a matematika. Elegancia, önbizalom, analógiák
keresése, struktúra, reprezentáció, vizuális gondolkodás, gondolatmenetek
megfordítása vagy akár fejtörők sorozata.
Talán Rickart hangsúlyozza leginkább a kreativitásnak
a matematikai gondolkodásban betöltött szerepét, hiszen ennek hiányában
egyéni jártasság, szigorúan a megtanultak alkalmazása lenne a matematika
tudománya, és nem lenne benne semmi előrelépés, fejlődés. Már munkája
címe Strukturalizmus és matematikai gondolkodás is mutatja,
hogy központi helyre emeli a struktúrák szerepét, amikkel elvontságuk,
a jelenlegi oktatástól való nagymértékű eltérésük miatt egy „átlagos”
középiskolás ritkán találkozhat, sőt a tanítási módszerek következtében
még az egyetemen is problémás megértésük.
Az utolsó rész az összegző fejezet, amely segíti
a könyvben leírt módszerek, technikák közötti kapcsolatok megtalálását.
Ahogy a kötet fejezetei mutatják, nagy fejlődésen ment keresztül a
matematika oktatásának „megújítása”, a gyerekek gondolkodásának megértése,
de még mindig nagy feladat áll a kutatók előtt. Miért? Azért, mert
a legtöbb diák számára sajnos még mindig a „szükséges rossz”, bemagolandó
tantárgy a matematika, amit a túlzott s számára semmitmondó formalizmusok
miatt meg sem próbál megérteni.
A kötetet Dobi János fordította magyarra. A szakemberek
által írt, Magyarországon újszerűnek számító, nehéz szakmai szövegeket
sikerült a szélesebb olvasótábor számára is követhető módon, érdekes
stílusban tolmácsolnia. A jelenlegi és leendő matematikatanárok körén
túl a tanulás és a gondolkodás fejlődése iránt érdeklődő szakemberek
és a diákok is haszonnal forgathatják. A könyvet tartalmához illően
igényes kiállításban a Vince Kiadó jelentette meg A pedagógusképzés
könyvtára c. sorozatban.
A matematikai gondolkodás természete. (Szerk.:
Robert J. Sternberg, Talia Ben- Zeev) Bp., 1998, Vince Kiadó.
Molnár Gyöngyvér