Lovas István fizikus (Gyöngyöshalász, Heves m., 1931). Az ELTE TTK karán végzett, kutatási területe az elméleti és kísérleti atommagfizika. A fizika doktora, az MTA tagja. 1992–96 között a Központi Fizikai Kutató Intézet vezérigazgatója, jelenleg a debreceni egyetem tanára, az Acta Physica Hungarica főszerkesztője.

Lovas István

Milyen lenne a világ, ha a fénysebesség végtelen, a Planck-állandó pedig zérus lenne?

Összefoglalás

A fenti kérdésre a tömör válasz: semmilyen. Az alábbiakban ezt kívánjuk bizonyítani.

A relativisztikus mechanika törvényei formailag átmennek a klasszikus mechanika törvényeibe, ha a c fénysebességgel tartunk végtelenhez, és ehhez hasonlóan a kvantummechanika törvényei is átmennek a klasszikus mechanika törvényeibe, ha a Planck-féle állandóval tartunk zérushoz. Ezt úgy szokás értelmezni, hogy a klasszikus mechanika helyesen írja le a jelenségeket, ha az előforduló sebességek elhanyagolhatóan kicsik a fénysebességhez képest, illetve ha az előforduló hatás jellegű (avagy impulzusmomentum jellegű) mennyiségekhez képest a Planck-féle állandó elhanyagolhatóan kicsi. Ebben a dolgozatban azt kívánjuk megvilágítani, hogy ha figyelembe vesszük a fizika azon fejezeteit is, amelyek kívül esnek a klasszikus mechanika körén, akkor kitűnik, hogy ha ezekben is végrehajtjuk a fenti két határátmenetet, akkor egy olyan világ áll elő (ha ezt a valamit világnak lehet egyáltalán nevezni), amelyben az események (ha ilyenek egyáltalán vannak) nem rendeződnek, sem időben, sem térben. Nem a klasszikus fizikában megismert, otthonos, átlátható, józan világot kapjuk vissza, hanem valami olyasmit, amit el sem tudunk képzelni.

Bevezetés

A relativitáselmélet és a kvantumelmélet felfedezése után igen szórakoztató írások jelentek meg, amelyekben feltételezték, hogy a fény sebessége alig nagyobb, mint egy futóbajnoké, a Planck-állandó pedig számértékét tekintve nagyobb, mint egy kalapácsvető perdülete (azaz saját tengely körüli forgásának impulzusnyomatéka).

Egy ilyen hipotetikus világban, ahol a fénysebesség c’ = 10 m/s lenne a valóságos c = 300 000 km/s helyett, a hétköznapi, megszokott jelenségek hasonlítanának a relativisztikus fizika jelenségeihez. Például a futóbajnokság második helyezettjét rendkívül karcsúnak, késpenge vékonyságúnak látnánk. Az első helyezett pedig szinte el is veszne a szemünk elől, mert a haladásával párhuzamos irányban a mérete úgy összezsugorodna, annak ellenére, hogy a tömege sok ezer tonnára rúgna. Ha a Planck-féle állandó értéke a valóságos = 1,054571596 * 10^-34 Js érték helyett, mondjuk, tíz-húsz nagyságrenddel nagyobb lenne, akkor a hétköznapi jelenségek hasonlatosak lennének a kvantumfizika törvényeit követő mikrofizikai jelenségekhez. Például az a gépjármű is át tudna kerülni alagúteffektussal egy hegy másik oldalára, amelynek az üzemanyaga már a hegy lábánál elfogyott, avagy a sietős utas a villamos mindkét ajtaján egyszerre tudna leszállni. A XX. század folyamán számos hasonló mulatságos szituációt írtak le elsősorban azzal a céllal, hogy a fizikát tanulók élményszerűen tudják elképzelni a szokatlan relativisztikus és kvantum-effektusokat is.

Klasszikus mechanika

A fizikát tanulók természetesen megismerkednek azzal a hipotetikus világgal is, amelyben a fénysebesség végtelen, a Planck-állandó pedig zérus. Hiszen a fizikát oktatók örömmel világítanak rá arra a tényre, hogy a c → ∞ határesetben visszakapjuk a nem-relativisztikus, azaz a Newton-féle klasszikus mechanikát és hasonlóképpen a → 0 határesetben is visszakapjuk a klasszikus mechanika törvényeit. Ebből azt a következtetést szokták levonni, hogy az a világ, amelyben c = ∞ és = 0, éppen olyan, mint ez a klasszikus világ, amit megszoktunk, és amiben jól és otthonosan érezzük magunkat.

Elektrodinamika

Ritkán szokták megemlíteni, hogy nem teljesen ilyen egyszerű a helyzet, mert a c → ∞ határesetben nem kapjuk vissza a klasszikus elektrodinamika törvényeit, minthogy a Maxwell-egyenletekből kiesik minden olyan tag, aminek a nevezőjében a c szerepel. Ez érthető, mert a klasszikus elektrodinamika Maxwell-törvényei eleve relativisztikusak voltak már a relativitáselmélet felfedezése előtt, és Einsteinnek „csak” fel kellett ismerni ezt. Másképp megfogalmazva, ha c = ∞ lenne, akkor az elektrodinamika nem a „klasszikus” elektrodinamikához vezetne, mert ilyen nincs is, hanem szétesne az elektrosztatikára és az ettől független magnetosztatikára. Ha c = ∞ lenne, akkor nem volna lehetséges az elektromágneses hullámok időbeli terjedése sem, azaz nem lenne fény. Az oksági elv értelmét vesztené, mert az okot és az okozatot nem lehetne idő szerint rendezni. Ebből levonhatjuk máris azt a következtetést, hogy abban a világban, amelyben c = ∞, nem lenne „történelem”, ezért az élet is lehetetlen lenne. A legjobb tehát, ha „nem bántjuk” a fénysebesség értékét, és meghagyjuk anynyinak, amennyi.

Annak természetesen van pedagógiai értéke, hogy a c → ∞ határesetben visszakapjuk a Newton-féle klasszikus mechanikát, ami a megismerés folyamatának egy igen értékes állomása volt, és módunk van rámutatni, hogy a relativisztikus mechanika nem érvénytelenítette a Newton-féle klasszikus mechanikát, csupán érvényességi körét korlátozta a kis sebességgel zajló jelenségekre.

Kvantummechanika

Nézzük most azt a világot, amelyet úgy kapunk, hogy tartunk a Planck-állandóval zérushoz.

Ehhez a mikrofizika törvényeit kell megvizsgálnunk. Ezért röviden összefoglaljuk a kvantummechanika azon legfontosabb törvényét, amelyben a legvilágosabban tükröződik a kvantummechanika eltérése a „józan” ésszel felfogható klaszszikus fizikától.

A klasszikus fizikában egy x irányban mozgó tömegpont fizikai állapotát két élesen megadható számadattal jellemezzük. Az egyik a helyet meghatározó x koordináta, a másik a mozgást jellemző p_x lendület (vagy impulzus). Ezzel szemben a kvantummechanikában a mikrorészecske fizikai állapotának jellemzésére csak olyan két számadat adható meg, amelyek szükségképpen bizonytalanok. Az egyik az x helykoordináta, aminek az értéke csak valamilyen Δx bizonytalansággal adható meg, a másik a p_x lendület, aminek a bizonytalansága Δp_x. Ezekre a bizonytalanság mértékét kifejező mennyiségekre fennáll a Heisenberg-féle bizonytalansági reláció, ami a következő alakú: Δx Δp_x ≥ /2.

Innen leolvasható, hogy ha a két bizonytalanság közül az egyik kicsi, akkor a másik szükségképpen nagy. Határesetben, amikor x-nek, illetve p_x-nek teljesen meghatározott az értéke, azaz Δx = 0, illetve Δp_x = 0, akkor a másik mennyiség teljesen határozatlan, azaz Δp_x = ∞, illetve Δx = ∞. A mikrorészecske fizikai állapotát a legpontosabban akkor adjuk meg, ha a fenti Heisenberg-féle bizonytalansági relációban az egyenlőtlenség helyett egyenlőséget írunk. Ennél pontosabban nem lehet megadni a mikrorészecske fizikai állapotát, nem azért, mert ügyetlenek vagyunk vagy mert a mérőműszerünk pontatlan, hanem azért, mert a mikrorészecskének ilyen a természete. Ebben tér el a mikrorészecske a klasszikus tömegponttól.

Tegyük fel a továbbiakban, hogy a mikrorészecske nemcsak az x irányban mozoghat, hanem az y és a z irányokban is. Ekkor fennáll még két további bizonytalansági reláció is: Δy Δp_y ≥ , Δz Δp_z ≥ .

Kérdezzük ezután, hogy egy klasszikus tömegpontnak hány különböző fizikai állapota lehetséges.

Ahhoz, hogy a kérdés jól definiált legyen, tegyük fel, hogy a tömegpont egy véges V térfogatban és egy véges Vp impulzus-térfogatban található. Itt érdemes bevezetni a fázistér fogalmát, ami egy olyan 6 dimenziós tér, amelynek koordinátái: x, y, z, p_x, p_y, p_z.

A V Vp szorzat a 6 dimenziós fázistér térfogata. A tömegpont fizikai állapota teljes mértékben akkor meghatározott, ha megadjuk az x, y, z helykoordinátáit és a p_x, p_y, p_z impulzus komponenseit, azaz a hatdimenziós fázistér egy pontját.

Amint látjuk, a tömegpontnak hatszor folytonosan végtelen sok különböző állapota lehet. Itt most azt emeljük ki, hogy a klasszikus mechanikában az állapotok száma megszámlálhatatlanul, azaz folytonosan sok.

Kérdezzük most az állapotok számát a kvantummechanika keretei között.

A három Heisenberg-féle bizonytalansági relációt összeszorozva, azt kapjuk, hogy ΔV ΔVp ≥ (/2)³, ahol ΔV = Δx Δy Δz és ΔVp = Δp_x Δp_y Δp_z.

Most a mikrorészecske állapotát nem adhatjuk meg pontosabban, mint ahogy azt a Heisenberg-féle relációk megengedik, azaz ha a ΔV ΔVp = (/2)³ egyenlőség érvényes, akkor a mikrorészecskének egy jól definiált állapotát kapjuk. Ezt úgy is ki lehet fejezni, hogy a mikrorészecske számára egy jól (azaz maximálisan) definiált állapot a fázistérben egy (/2)³ nagyságú térfogatot foglal el. Megfordítva, ha a mikrorészecske számára rendelkezésre álló fázistér térfogata V Vp, akkor a lehetséges állapotok N száma: N = (V Vp)/(/2)³.

Itt minőségileg új dolog az, hogy N egy véges szám, azaz a mikrorészecske állapotainak száma megszámlálható és véges. Ha folytonosan növeljük a fázistérfogatot, akkor N nem folytonosan változik, hanem egész számú ugrásokkal, más szóval N kvantált!

Ha azonban = 0, akkor N végtelen. Az állapotok száma nem kvantált, hanem hatszor folytonosan végtelen, azaz visszakapjuk a klasszikus fizikában érvényes leírást.

Eddig feltételeztük, hogy a mikrorészecske teljesen szabadon mozog, azaz nem éri semmilyen külső behatás. Tegyük fel a továbbiakban, hogy a mikrorészecske valamilyen másik mikrorészecskével kölcsönhatásba kerül. Ekkor két nagyon különböző helyzet alakulhat ki. Az egyik esetben a kiszemelt mikrorészecske „érzi” a másik hatását, de ez nem akadályozza meg őt abban, hogy tetszőlegesen nagy távolságra távolodjon el, azaz a részecske szabad. A másik esetben a kölcsönhatás arra kényszeríti a részecskét, hogy maradjon a másik „közelében”, azaz hogy egy kötött állapot jöjjön létre. Az első eset nem különbözik lényegesen a fentebb tárgyalt kölcsönhatásmentes esettől. Nézzük ezért azt az esetet, amikor a kiszemelt mikrorészecske „kötve” van a másikhoz. Ebben az esetben a mikrorészecske lehetséges állapotai kvantáltak lesznek, azaz az állapotot jellemző paraméterek, az ún. kvantumszámok értékei nem folytonosan, hanem csak ugrásszerűen változhatnak. A mikrorészecske állapotainak száma megszámlálható. Számítással meg lehet győződni arról, hogy a Heisenberg-féle bizonytalansági relációk természetesen most is érvényben vannak.

Ezek szerint megállapíthatjuk, hogy az állapotok száma akkor is megszámlálható, ha van kölcsönhatás, és akkor is, ha nincs! Azért hívják ezt a tudományágat kvantummechanikának, mert a mikrorészecskék állapotainak száma megszámlálható, azaz minden körülmények között kvantált!

Miért olyan fontos ez? Azért, mert Wolfgang Pauli felismerte, hogy minden egyes állapotot mindig csak egy elektron foglalhat el. Később kitűnt, hogy ez a kijelentés nemcsak az elektronra igaz, hanem az összes elektronhoz hasonló részecskére is, amelyeket összefoglaló néven fermionoknak nevezünk. (A fermionok különleges jegye az, hogy a spinjük csak a Planck-féle állandó félegész számú többszöröse lehet, azaz 1/2 , 3/2 , 5/2 , 7/2 és így tovább. A spin a részecskének a pályamozgásától független impulzusmomentuma, amit saját impulzusmomentumnak, illetve perdületnek is szokás nevezni. Ennek a klasszikus analogonja a saját tengely körüli forgáshoz tartozó impulzusmomentum.) Ezek szerint, ha egy rendszerben F darab azonos, fermion típusú mikrorészecske van, akkor ezek F darab különböző állapotot töltenek be. A fermion hasonlít a klasszikus építőkőhöz. Ha egy helyen van egy kő, akkor egy másik már nem lehet ott. Lehet felette, mellette, de ugyanott nem. Egy építőkövekből felépített valami egy térbeli kiterjedéssel és jellegzetes alakkal rendelkező építmény, amit röviden épületnek nevezünk. Egy fermionokból felépülő valami egy térbeli kiterjedéssel és jellegzetes alakkal rendelkező szerkezet, amit a felépítő fermionok típusától és a körülményektől függően protonnak, atommagnak, atomnak, molekulának vagy kristálynak nevezünk. Itt most fordítsuk figyelmünket arra a tényre, hogy térbelileg kiterjedt szerkezetek a mikrorészecskék világában csak azért tudnak létrejönni, mert megszámlálhatóan sok állapot létezik, és ezeket az állapotokat maximálisan csak egy fermion töltheti be. Érdemes megemlíteni azt a megfigyelést, hogy a fermion típusú nukleonokból álló atommagok, a fermion típusú elektronokból álló atomok és a fermion típusú atomokból álló kondenzátumok geometriai mérete növekszik az alkotórészek számának növekedésével, ugyanúgy, ahogy az épület mérete is növekszik a beépített építőkövek számával. Ha = 0 lenne, akkor a lehetséges állapotok nem lennének megszámlálhatók, azaz kvantáltak. Ekkor az egymáshoz mérhetetlenül közel eső állapotok végtelen sokaságába megszámlálhatatlanul sok fermiont lehetne elhelyezni, még akkor is, ha szigorúan betartanánk a Pauli-féle kizárási elvet. Ezek szerint nem jöhetne létre térbeli szerkezet. Nem jöhetne létre sem proton, sem atommag, sem atom, sem kristály. Az anyag egy elképzelhetetlenül primitív, szerkezet nélküli massza lenne. Jelenleg az elektront belső szerkezettel nem rendelkező elemi részecskének tekintjük, egyszerűen azért, mert semmi, ennek a feltevésnek ellentmondó jelenséget nem tapasztaltunk. Ezért könnyen beletörődünk abba a megállapításba, hogy két elektron egymástól megkülönböztethetetlen. Az viszont megrázó, hogy két adott típusú atom is megkülönböztethetetlen egymástól. Két vasatom vagy két uránatom között nem lehet különbséget tenni. Rendkívül figyelemreméltó az a megfigyelés, hogy két azonos számú, azonos típusú fermionból felépült rendszer egymástól megkülönböztethetetlen. Ez a kvantumfizikában egy igen fontos, kivételt nem ismerő elv formájában fogalmazódik meg: ez az azonos típusú részecskék megkülönböztethetetlenségének az elve. Nem nehéz belátni, hogy az összetett részecskékre is érvényes megkülönböztethetetlenség annak a következménye, hogy a fermion típusú alkotórészecskék számára csak kvantált, azaz megszámlálható állapotok lehetségesek, amelyeket a Pauli-elvnek megfelelően töltenek be a részecskék. Képletesen azt is mondhatjuk, hogy minden adott típusú összetett részecske annyira hasonlít minden testvérére, mint a tökéletes egypetéjű ikrek. (Meggyőződésem, hogy az élővilágban előforduló egypetéjű ikrek nagyfokú hasonlósága, azaz a közelítő megkülönböztethetetlensége annak a következménye, hogy a DNS-molekula a kvantumfizika törvényeinek engedelmeskedik. A nem tökéletes azonosságért elsősorban a DNS-molekula termikus eredetű gerjesztései a felelősek.)

Érdemes hangsúlyozni, hogy ha a Planck-féle állandó kisebb lenne, mint a tényleges értéke, akkor még lehetséges lenne a miénkhez hasonló kvantált világ, csupán a mikrorészecskékből felépülő szerkezetek lennének kisebbek. Ha azonban = 0 lenne, akkor az anyag csak belső szerkezet nélküli massza lehetne, olyan, ami minőségileg különbözik a mi világunktól.

Matematikai nyelven ezt a következőképpen lehet kifejezni. A fizika matematikai elmélete tartalmaz két fontos természeti állandót. Az egyik a fénysebesség, a másik a Planck-féle állandó. Ha ezeket paramétereknek tekintjük és értéküket változtatjuk, akkor az elmélet által leírt világ a valóságostól nem minőségileg, hanem csak kvantitatívan különbözik. Valahogy úgy, ahogyan azt a bevezetőben leírtuk. Ez igaz akkor is, ha a c → ∞ és → 0 határátmenetet vizsgáljuk. Amikor azonban a határra érünk, akkor minőségi ugrás következik be. A paraméter tér nem kompakt. A határpontok nem tartoznak hozzá a paraméter térhez. A határpontoknak megfelelő valami már nem a mi világunk „elhangolt” fizikáját írja le, hanem olyan valamit, amiben nincs sem időbeli, sem térbeli struktúra. Ezzel választ adtunk a címben feltett kérdésre.